Значение непрерывные дроби в словаре кольера. Непрерывные дроби Непрерывные дроби тиле

НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ

Последовательность, каждый член которой является обычной дробью, порождает непрерывную (или цепную) дробь, если ее второй член прибавить к первому, а каждую дробь, начиная с третьей, прибавить к знаменателю предыдущей дроби. Например, последовательность 1, 1/2, 2/3, 3/4, ..., n/(n + 1), ... порождает непрерывную дробь

где многоточие в конце указывает на то, что процесс продолжается бесконечно. В свою очередь непрерывная дробь порождает другую последовательность дробей, называемых подходящими. В нашем примере первая, вторая, третья и четвертая подходящие дроби равны

Их можно построить по простому правилу из последовательности неполных частных 1, 1/2, 2/3, 3/4, ... . Прежде всего выпишем первую и вторую подходящие дроби 1/1 и 3/2. Третья подходящая дробь равна (2?1 + 3?3)/(2?1 + 3?2) или 11/8, ее числитель равен сумме произведений числителей первой и второй подходящих дробей, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного, а знаменатель равен сумме произведений знаменателей первого и второго неполных частных, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного. Четвертая подходящая дробь получается аналогично из четвертого неполного частного 3/4 и второй и третьей подходящих дробей: (3?3 + 4?11)/(3?2 + 4?8) или 53/38. Следуя этому правилу, находим первые семь подходящих дробей: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 и 16687/11986. Запишем их в виде десятичных дробей (с шестью знаками после запятой): 1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1,392247 и 1,392208. Значением нашей непрерывной дроби будет число x, первые цифры которого 1,3922. Подходящие дроби являются лучшим приближением числа x. Причем они поочередно оказываются то меньше, то больше числа x (нечетные - больше x, а четные - меньше).

Чтобы представить отношение двух положительных целых чисел в виде конечной непрерывной дроби, нужно воспользоваться методом нахождения наибольшего общего делителя. Например, возьмем отношение 50/11. Так как 50 = 4?11 + 6 или 11/50 = 1/(4 + 6/11), и, аналогично, 6/11 = 1/(1 + 5/6) или 5/6 = 1/(1 + 1/5), получаем:

Непрерывные дроби используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Предположим, что x - иррациональное число (т.е. непредставимо в виде отношения двух целых чисел). Тогда, если n0 - наибольшее целое число, которое меньше x, то x = n0 + (x - n0), где x - n0 - положительное число меньше 1, поэтому обратное ему число x1 больше 1 и x = n0 + 1/x1. Если n1 - наибольшее целое число, которое меньше x1, то x1 = n1 + (x1 - n1), где x1 - n1 - положительное число, которое меньше 1, поэтому обратное ему число x2 больше 1, и x1 = n1 + 1/x2. Если n2 - наибольшее целое число, которое меньше x2, то x2 = n2 + 1/x3, где x3 больше 1, и т.д. В результате мы шаг за шагом находим последовательность неполных частных n0, 1/n1, 1/n2, ... непрерывной дроби, являющихся приближениями x.

Поясним сказанное на примере. Предположим, что тогда

Первые 6 подходящих дробей равны 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Записанные в виде десятичных дробей они дают следующие приближенные значения: 1,000; 1,500; 1,400; 1,417; 1,4137; 1,41428. Непрерывная дробь для имеет неполные частные 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1, ... . Иррациональное число является корнем квадратного уравнения с целочисленными коэффициентами в том и только в том случае, если неполные частные его разложения в непрерывную дробь периодичны.

Непрерывные дроби тесно связны со многими разделами математики, например с теорией функций, расходящимися рядами, проблемой моментов, дифференциальными уравнениями и бесконечными матрицами. Если x - радианная мера острого угла, то тангенс угла x равен значению непрерывной дроби с неполными частными 0, x/1, ?x2/3, ?x2/7, ?x2/9, ..., а если x - положительное число, то натуральный логарифм от 1 + x равен значению непрерывной дроби с неполными частными 0, x/1, 12x/2, 12x/3, 22x/4, 22x/5, 32x/6, ... . Формальным решением дифференциального уравнения x2dy/dx + y = 1 + x в виде степенного ряда является расходящийся степенной ряд 1 + x - 1!x2 + 2!x3 - 3!x4 + ... . Этот степенной ряд можно преобразовать в непрерывную дробь с неполными частными 1, x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1, ..., а ее в свою очередь использовать для получения решения дифференциального уравнения x2dy/dx + y = 1 + x.

Кольер. Словарь Кольера. 2012

Смотрите еще толкования, синонимы, значения слова и что такое НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ в русском языке в словарях, энциклопедиях и справочниках:

• ДРОБЬ
  Если делится какое-нибудь целое число а на другое целое число b, т. е. ищется число x, удовлетворяющее условию bx=а, то …
• ОСТРОВ КАУАИ в Справочнике Чудес, необычных явлений, НЛО и прочего:
  самое сырое место на Земле, расположенное в Гавайском архипелаге в Тихом океане, где идут практически непрерывные ливневые дожди. Среднегодовое количество …
• СТАЛКЕР (ФИЛЬМ) в Цитатнике Wiki.
• РОССИЯ, РАЗД. МАТЕМАТИКА в Краткой биографической энциклопедии:
  Рпоха письменных памятников застает в России употребление десятичной системы счисления в пределах 1 - 10000 (тьма) и дробей двоичной системы …
• ДРОБЬ в Большом энциклопедическом словаре:
  
• ЯКОБИАН
  функциональный определитель -aik-1n с элементами, где yi fi (X1 , ... , Xn), l £ i £ …
• ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ (МАТЕМАТ.) в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  анализ, часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные …
• ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  уравнения, весьма общий класс уравнений, в которых искомой является некоторая функция. К Ф. у. по существу относятся дифференциальные уравнения, …
• УРОВНИ ЭНЕРГИИ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  энергии, возможные значения энергии квантовых систем, т. е. систем, состоящих из микрочастиц (электронов, протонов и др. элементарных частиц, атомных ядер, …
• ТОПОЛОГИЯ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  (от греч. tоpos - место и - логия) - часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии …
• ТЕРМОДИНАМИКА НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  неравновесных процессов, общая теория макроскопического описания неравновесных процессов. Она называется также неравновесной термодинамикой или термодинамикой необратимых процессов. Классическая термодинамика …
• ТЕРМИЧЕСКАЯ ПЕЧЬ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  печь, промышленная печь для проведения различных операций термической или химико-термической обработки металлических изделий. Т. п. классифицируют по методу работы: периодические …
• СССР. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  науки Авиационная наука и техника В дореволюционной России был построен ряд самолётов оригинальной конструкции. Свои самолёты создали (1909-1914) Я. М. …
• РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  функция, функция, получающаяся в результате конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления) над переменным х и произвольными числами. Р. …
• ПРОКАТНЫЙ СТАН в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  стан, машина для обработки давлением металла и др. материалов между вращающимися валками, т. е. для осуществления процесса прокатки, в …
• ПОЛИМЕРЫ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  (от греч. polymeres - состоящий из многих частей, многообразный), химические соединения с высокой молекулярной массой (от нескольких тысяч до многих …
• ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ДРОБЬ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  дробь, бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места, стоит только периодически повторяющаяся определённая группа цифр. Например, 1,3181818...; короче …
• НЕПРЕРЫВНАЯ ДРОБЬ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  дробь, цепная дробь, один из важнейших способов представления чисел и функций. Н. д. есть выражение вида где a 0 - …
• НЕПРЕРЫВНАЯ ГРУППА в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  группа, математическое понятие, как и понятие обыкновенной группы, возникающее при рассмотрении преобразований. Пусть М - множество элементов х какого-либо …
• МАРОККО в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  Королевство Марокко (араб. - Аль-Мамляка аль-Магрибия, или Магриб аль-Акса, буквально - дальний запад). I. Общие сведения М. - государство на …
• ЛИНИЯ (ГЕОМЕТРИЧ. ПОНЯТИЕ) в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  (от лат. linea), геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется …
• КОЛИЧЕСТВО в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  категория, выражающая внешнее, формальное взаимоотношение предметов или их частей, а также свойств, связей: их величину, число, степень проявления того или …
• КИБЕРНЕТИКА в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  (от греч. kybernetike - искусство управления, от kybernao - правлю рулём, управляю), наука об управлении, связи и переработке информации. …
• ЗОЛОТЫЕ СПЛАВЫ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  сплавы, сплавы, важнейшим компонентом которых является золото (Au). Сплавление Au с др. металлами (лигатурами) имеет целью повышение прочности …
• ЗАГОТОВОЧНЫЙ СТАН в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  стан, прокатный стан, предназначенный для прокатки блюмов или слитков в заготовки квадратного или круглого сечения с целью их последующей обработки …
• ДРОБОВОЕ БУРЕНИЕ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  бурение, вид вращательного бурения с применением дроби в качестве истирающего материала. Предложено в США в 1899 для проходки скважин в …
• ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  число, вещественное число, любое положительное число, отрицательное число или нуль. Д. ч. разделяются на рациональные и иррациональные. Первые представимы как …
• ГЕОМЕТРИЯ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  (греч. geometria, от ge - Земля и metreo - мерю), раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие …
• ТОРМОЗ
• РУЧНОЕ ОГНЕСТРЕЛЬНОЕ ОРУЖИЕ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
  характеризуется тем, что требует для боевого употребления усилий только одного человека. Первообраз (XIII, XIV столетия) его — ручная бомбарда (bomba …
• РОССИЯ. РУССКАЯ НАУКА: МАТЕМАТИКА в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
  Эпоха письменных памятников застает в России употребление десятичной системы счисления в пределах 1—10000 (тьма) и дробей двоичной системы вместе с …
• РАСТВОРЫ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона.
• ПРИСТРЕЛКА ОХОТНИЧЬЕГО РУЖЬЯ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
  имеет задачей как изучение боя его, так и определение границ кучности, резкости и дальности боя различными номерами дроби. Бой каждого …
• ПЕРЕДВИЖЕНИЕ ОРГАНОВ РАСТЕНИЙ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона.
• МАТЕМАТИКА в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
  Слово "математика" происходит от греческого?????? (наука, учение), в свою очередь происходящего, вместе с имеющим одно с ним значение словом …
• КОСТИ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
  твердые части, соединение которых составляет скелет или остов тела позвоночных и которые характеризуются большой твердостью, значительным содержанием минеральных веществ и …
• ДРОБЬ ДЛЯ СТРЕЛЬБЫ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона.
• ЦИФРОВОЕ в Большом российском энциклопедическом словаре:
  ЦИФРОВ́ОЕ ТЕЛЕВИДЕНИЕ, система телевизионного вещания, в к-рой непрерывные во времени телевиз. сигналы при передаче преобразуются в дискретные и передаются …
• ТОРМОЗ*
• РУЧНОЕ ОГНЕСТРЕЛЬНОЕ ОРУЖИЕ *
  ? характеризуется тем, что требует для боевого употребления усилий только одного человека. Первообраз (XIII, XIV столетия) его? ручная бомбарда …
• РАСТВОРЫ* в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона.
• ПРИСТРЕЛКА ОХОТНИЧЬЕГО РУЖЬЯ в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона:
  ? имеет задачей как изучение боя его, так и определение границ кучности, резкости и дальности боя различными номерами дроби. Бой …
• ПЕРЕДВИЖЕНИЕ ОРГАНОВ РАСТЕНИЙ* в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона.
• МУКОМОЛЬНОЕ ПРОИЗВОДСТВО* в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона.
• МАТЕМАТИКА в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона:
  ? Слово "математика" происходит от греческого?????? (наука, учение), в свою очередь происходящего, вместе с имеющим одно с ним значение …
• КОСТИ в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона:
  ? твердые части, соединение которых составляет скелет или остов тела позвоночных и которые характеризуются большой твердостью, значительным содержанием минеральных веществ …
• ЦИФРЫ И СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ: ОБОЗНАЧЕНИЯ ЧИСЕЛ в Словаре Кольера:
  К статье ЦИФРЫ И СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Древний Египет. Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии (ок. 2850 …
• ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ: ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО в Словаре Кольера:
  К статье ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ Функции, используемые в элементарном анализе, задаются формулами. Их графики обычно можно начертить, не отрывая карандаш от …
• ДЕРЕВО: ОСНОВНЫЕ ЧАСТИ ДЕРЕВА в Словаре Кольера:
  К статье ДЕРЕВО Деревья, за исключением древовидных папоротников, - семенные растения, состоящие из корней, стебля, листьев и репродуктивных (половых) органов, …

дроби"тельный, дроби"тельная, дроби"тельное, дроби"тельные, дроби"тельного, дроби"тельной, дроби"тельного, дроби"тельных, дроби"тельному, дроби"тельной, дроби"тельному, дроби"тельным, дроби"тельный, дроби"тельную, дроби"тельное, дроби"тельные, дроби"тельного, дроби"тельную, дроби"тельное, дроби"тельных, …
• ДРОБИНКА в Полной акцентуированной парадигме по Зализняку:
  дроби"нка, дроби"нки, дроби"нки, дроби"нок, дроби"нке, дроби"нкам, дроби"нку, дроби"нки, дроби"нкой, дроби"нкою, дроби"нками, дроби"нке, …
• ДРОБИНА в Полной акцентуированной парадигме по Зализняку:
  дроби"на, дроби"ны, дроби"ны, дроби"н, дроби"не, дроби"нам, дроби"ну, дроби"ны, дроби"ной, дроби"ною, дроби"нами, дроби"не, …
• ДРОБИЛЬЩИК в Полной акцентуированной парадигме по Зализняку:
  дроби"льщик, дроби"льщики, дроби"льщика, дроби"льщиков, дроби"льщику, дроби"льщикам, дроби"льщика, дроби"льщиков, дроби"льщиком, дроби"льщиками, дроби"льщике, …
• ДРОБИЛЬНЫЙ в Полной акцентуированной парадигме по Зализняку:
  дроби"льный, дроби"льная, дроби"льное, дроби"льные, дроби"льного, дроби"льной, дроби"льного, дроби"льных, дроби"льному, дроби"льной, дроби"льному, дроби"льным, дроби"льный, дроби"льную, дроби"льное, дроби"льные, дроби"льного, дроби"льную, дроби"льное, дроби"льных, …
• ДРОБИЛО в Полной акцентуированной парадигме по Зализняку:
  дроби"ло, дроби"ла, дроби"ла, дроби"л, дроби"лу, дроби"лам, дроби"ло, дроби"ла, дроби"лом, дроби"лами, дроби"ле, …
• ДРОБИЛКА в Полной акцентуированной парадигме по Зализняку:
  дроби"лка, дроби"лки, дроби"лки, дроби"лок, дроби"лке, дроби"лкам, дроби"лку, дроби"лки, дроби"лкой, дроби"лкою, дроби"лками, дроби"лке, …
• ДРОБЬ в Современном толковом словаре, БСЭ:
  в арифметике - число составленное из целого числа долей единицы. Дробь выражается отношением двух целых чисел m/n, где n - …
• НЕПРЕРЫВНЫЙ в Толковом словаре русского языка Ушакова:
  непрерывная, непрерывное; непрерывен, непрерывна, непрерывно. 1. Не имеющий перерывов, промелсутков, тянущийся сплошным рядом, линией. Непрерывная цепь. Непрерывный ряд. Непрерывный поток. …

Последовательность, каждый член которой является обычной дробью, порождает непрерывную (или цепную) дробь, если ее второй член прибавить к первому, а каждую дробь, начиная с третьей, прибавить к знаменателю предыдущей дроби. Например, последовательность 1, 1/2, 2/3, 3/4, ..., n/(n + 1), ... порождает непрерывную дробь

Где многоточие в конце указывает на то, что процесс продолжается бесконечно. В свою очередь непрерывная дробь порождает другую последовательность дробей, называемых подходящими. В нашем примере первая, вторая, третья и четвертая подходящие дроби равны

Их можно построить по простому правилу из последовательности неполных частных 1, 1/2, 2/3, 3/4, ... . Прежде всего выпишем первую и вторую подходящие дроби 1/1 и 3/2. Третья подходящая дробь равна (2*1 + 3*3)/(2*1 + 3*2) или 11/8, ее числитель равен сумме произведений числителей первой и второй подходящих дробей, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного, а знаменатель равен сумме произведений знаменателей первого и второго неполных частных, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного. Четвертая подходящая дробь получается аналогично из четвертого неполного частного 3/4 и второй и третьей подходящих дробей: (3*3 + 4*11)/(3*2 + 4*8) или 53/38. Следуя этому правилу, находим первые семь подходящих дробей: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 и 16687/11986. Запишем их в виде десятичных дробей (с шестью знаками после запятой): 1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1,392247 и 1,392208. Значением нашей непрерывной дроби будет число x, первые цифры которого 1,3922. Подходящие дроби являются лучшим приближением числа x. Причем они поочередно оказываются то меньше, то больше числа x (нечетные - больше x, а четные - меньше). Чтобы представить отношение двух положительных целых чисел в виде конечной непрерывной дроби, нужно воспользоваться методом нахождения наибольшего общего делителя. Например, возьмем отношение 50/11. Так как 50 = 4Ч11 + 6 или 11/50 = 1/(4 + 6/11), и, аналогично, 6/11 = 1/(1 + 5/6) или 5/6 = 1/(1 + 1/5), получаем:

Непрерывные дроби используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Предположим, что x - иррациональное число (т.е. непредставимо в виде отношения двух целых чисел). Тогда, если n0 - наибольшее целое число, которое меньше x, то x = n0 + (x - n0), где x - n0 - положительное число меньше 1, поэтому обратное ему число x1 больше 1 и x = n0 + 1/x1. Если n1 - наибольшее целое число, которое меньше x1, то x1 = n1 + (x1 - n1), где x1 - n1 - положительное число, которое меньше 1, поэтому обратное ему число x2 больше 1, и x1 = n1 + 1/x2. Если n2 - наибольшее целое число, которое меньше x2, то x2 = n2 + 1/x3, где x3 больше 1, и т.д. В результате мы шаг за шагом находим последовательность неполных частных n0, 1/n1, 1/n2, ... непрерывной дроби, являющихся приближениями x. Поясним сказанное на примере. Предположим, что

Https:="">
">

тогда

Первые 6 подходящих дробей равны 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Записанные в виде десятичных дробей они дают следующие приближенные значения
: 1,000; 1,500; 1,400; 1,417; 1,4137; 1,41428. Непрерывная дробь для
имеет неполные частные 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1, ... . Иррациональное число является корнем квадратного уравнения с целочисленными коэффициентами в том и только в том случае, если неполные частные его разложения в непрерывную дробь периодичны. Непрерывные дроби тесно связны со многими разделами математики, например с теорией функций, расходящимися рядами, проблемой моментов, дифференциальными уравнениями и бесконечными матрицами. Если x - радианная мера острого угла, то тангенс угла x равен значению непрерывной дроби с неполными частными 0, x/1, -x2/3, -x2/7, -x2/9, ..., а если x - положительное число, то натуральный логарифм от 1 + x равен значению непрерывной дроби с неполными частными 0, x/1, 12x/2, 12x/3, 22x/4, 22x/5, 32x/6, ... . Формальным решением дифференциального уравнения x2dy/dx + y = 1 + x в виде степенного ряда является расходящийся степенной ряд 1 + x - 1!x2 + 2!x3 - 3!x4 + ... . Этот степенной ряд можно преобразовать в непрерывную дробь с неполными частными 1, x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1, ..., а ее в свою очередь использовать для получения решения дифференциального уравнения x2dy/dx + y = 1 + x.

• - отношение двух чисел, разделенных одно на другое, вида а/в; например, 3/4. В этом выражении а - числитель, а в - знаменатель. Если а и в - целые числа, то частное - простая дробь. Если а меньше в, то дробь правильная...

  Научно-технический энциклопедический словарь

• - практика выплат комиссионных зарегистрированным представителям после того, как они прекратили деятельность в качестве брокеров/дилеров или наследникам после смерти зарегистрированного представителя...

  Большой экономический словарь

• - Начисление процента, или дисконтирование, будущих поступлений на постоянном базисе. При годовой ставке 100 r, через N лет сумма займа вырастет в N раз по сравнению с первоначальной суммой...

  Экономический словарь

• - Рухин, 1961, - ритмы, не разделенные выдержанными перерывами в осадконакоплении и обязательно имеющие регрессивную часть...

  Геологическая энциклопедия

• - среды, в которых скорость распространения упругих волн непрерывно возрастает с глубиной. Изучение их в сейсморазведке играет большую роль...

  Геологическая энциклопедия

• - см. Дни последовательно-исчисляемые...

  Морской словарь

• - в теоретических финансовых расчетах - проценты, начисляемые за бесконечно малые промежутки времени.Синонимы: Непрерывное начислениеСм. также: Стоимость кредита  ...

  Финансовый словарь

• - см. Дробь...
• - см. Дробь...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - числа или функции, возникающие при обрыве непрерывной дроби...

  Большая Советская энциклопедия

• - 1. Арх., Орл., Сиб. Плясать, прерывисто пристукивая ногами о землю. СРНГ 8, 189; СОГ 1989, 75; ФСС,12. 2. Волг. Пристукивать ногами от холода. Глухов 1988, 3...
• - Сиб. То же, что бить дроби 1. ФСС, 53...

  Большой словарь русских поговорок

• - Заваливать/ завалить на дробях кого. Жарг. студ. Отвергать, отклонять кого-л. по несущественной причине. НРЛ-82; Мокиенко 2003, 26...

  Большой словарь русских поговорок

• - прил., кол-во синонимов: 1 целый...

  Словарь синонимов

"НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ" в книгах

Непрерывные выборы Путина

Из книги автора

Непрерывные выборы Путина Для поддержания персональной популярности Путина в народе его команда немедленно реагирует на малейшее изменение обстановки. «Перманентные выборы» приобрели дополнительное значение в начале нулевых, когда череда «цветных революций» смела

Непрерывные и радикальные инновации

Из книги Невесомое богатство. Определите стоимость вашей компании в экономике нематериальных активов автора Тиссен Рене

Непрерывные и радикальные инновации Сегодня всем уже известна теория кривой роста. Многие годы она была (и продолжает оставаться) одним из инструментов, позволяющих определить положение компании на любом этапе ее развития. У каждого товара и услуги собственный цикл

4. 5. Непрерывные потоки

Из книги Основы кибернетики предприятия автора Форрестер Джей

4. 5. Непрерывные потоки При построении модели промышленно-сбытовой системы мы предполагаем, что ее основой - по крайней мере вначале - являются непрерывные потоки и взаимодействия переменных. Дискретность событий может быть учтена при анализе информационных систем с

Непрерывные инновации и устойчивый успех – вот приз победителю

Из книги В здоровом бизнесе – здоровый дух. Как великие компании вырабатывают иммунитет к кризисам автора Карлгаард Рич

Непрерывные инновации и устойчивый успех – вот приз победителю Теперь, когда вы получили представление о каждой из трех сторон треугольника успеха, я сложу их вместе. Если ваша цель состоит в том, чтобы создать компанию, способную постоянно придумывать и внедрять

Непрерывные угрозы

Из книги В сибирских лагерях. Воспоминания немецкого пленного. 1945-1946 автора Герлах Хорст

Непрерывные угрозы Всю ту ночь мы находились у русских на мушке. Они заперли нас, а потом подошли другие и ругались, что двери закрыты. Вокруг не прекращалось какое-то движение, все вещи перетряхивались и просматривались: сундуки, ящики, коробки. Их содержимое выкидывалось

Глава I. НЕПРЕРЫВНЫЕ КОНФЛИКТЫ И НЕНАДЕЖНЫЕ ПЕРЕМИРИЯ

Из книги Религиозные войны автора Ливе Жорж

Глава I. НЕПРЕРЫВНЫЕ КОНФЛИКТЫ И НЕНАДЕЖНЫЕ ПЕРЕМИРИЯ В 1559 г. удар копья Монтгомери, убивший короля Генриха II, «меняет лицо Франции». Сможет ли наследник трона Франциск II обуздать силы, готовые разбушеваться при малейшем ослаблении королевской власти? С одной стороны,

Подходящие дроби

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ПО) автора БСЭ

3.2.1. Двоичные дроби

автора Григорьев А. Б.

3.2.1. Двоичные дроби Для начала - немного математики. В школе мы проходим два вида дробей простые и десятичные. Десятичные дроби, по сути дела, представляют собой разложение числа по степеням десяти. Так, запись 13,6704 означает число, равное 1?101 + 3?100 + 6?10-1 + 7?10-2 + 0?10-3 + 4?10-4. Но

3.2.5. Бесконечные дроби

Из книги О чём не пишут в книгах по Delphi автора Григорьев А. Б.

3.2.5. Бесконечные дроби Из школы мы все помним, что не каждое число может быть записано конечной десятичной дробью. Бесконечные дроби бывают двух видов: периодичные и непериодичные. Примером непериодичной дроби является число?, периодичной - число? или любая другая

Что могут дать продолжительные, непрерывные усилия

Из книги Правила. Законы достижения успеха автора Кэнфилд Джек

Что могут дать продолжительные, непрерывные усилия Стоила ли овчинка выделки? О да! Книга в конечном счете разошлась в 8 миллионах экземпляров на 39 языках.Произошло ли это в мгновение ока? О нет! В список бестселлеров мы попали через год после выхода книги в свет – через

Дроби

Из книги 50 лучших головоломок для развития левого и правого полушария мозга автора Филлипс Чарльз

Дроби «Дроби» – это новое агентство, предлагающее уроки математики. Дизайнер Фредди Матисс представил варианты логотипа для агентства в виде загадки: A превращается в Б с помощью простого преобразования; если вы выполните такое же преобразование для пятиугольника

Шестая особенность: движения связанные и непрерывные с образованием единой ци

Из книги Секретные техники Тайцзи-цюань стиля Чэнь автора Цзячжэнь Чэнь

Шестая особенность: движения связанные и непрерывные с образованием единой ци В трактатах о гимнастиках приведены следующие требования.1) Движения туда и обратно должны иметь излом и смену. Наступление и отступление должны иметь переворот.2) Подобрав, тут же отпускают,

Непрерывные инновации

автора Теллис Джерард

Непрерывные инновации Рынки и технологии постоянно меняются и когда-то успешные товары выходят из употребления. Позиции даже самых сильных компаний весьма уязвимы из-за технологических и рыночных изменений. Поэтому для удержания рыночного лидерства компаниям

Непрерывные инновации: обратная связь

Из книги Воля и видение. Как те, кто приходит позже остальных, в итоге заправляют рынками автора Теллис Джерард

Непрерывные инновации: обратная связь Опыт Intel показывает, что постоянные инновации не только сдерживают конкурентов, но и генерируют прибыль для новых инноваций. Рынок микропроцессоров значительно динамичнее рынка бритвенных систем. Рисунок 7–3 иллюстрирует тенденции

1.4. Дискретные и непрерывные системы

Из книги Феномен науки. Кибернетический подход к эволюции автора Турчин Валентин Фёдорович

1.4. Дискретные и непрерывные системы Состояние системы определяется через совокупность состояний всех ее подсистем, т. е. в конечном счете элементарных подсистем. Элементарные подсистемы бывают двух типов: с конечным и бесконечным числом возможных состояний. Подсистемы

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://allbest.ru

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУК КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования Томь-Усинский энерготранспортный техникум

по дисциплине Математика

Непрерывные дроби

Выполнил:

студент группы ТРУК-1-14

Жулева Дарья

Проверил:

преподаватель математики

Кемерова С.И.

Введение

1. История цепных дробей

2. Разложение в непрерывную дробь

3. Приближение вещественных чисел к рациональным

4. Приложения цепных дробей

5. Свойства золотого сечения

Список литературы

Введение

Цепная дробь (или непрерывная дробь) -- это математическое выражение вида

где a0 есть целое число и все остальные an натуральные числа (положительные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.

1. История цепных дробей

Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение.

Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений.

Алгоритм Евклида дает возможность найти представление (или разложение) любого рационального числа в виде цепной дроби. В качестве элементов цепной дроби получаются неполные частные последовательных делений в системе равенств, поэтому элементы цепной дроби называются также неполными частными. Кроме того, равенства системы показывают, что процесс разложения в цепную дробь состоит в последовательном выделении целой части и перевертывании дробной части.

2. Разложение в непрерывную дробь

Последняя точка зрения является более общей по сравнению с первой, так как она применима к разложению в непрерывную дробь не только рационального, но и любого действительного числа.

Разложение рационального числа имеет, очевидно, конечное число элементов, так как алгоритм Евклида последовательного деления a на b является конечным.

Понятно, что каждая цепная дробь представляет определенное рациональное число, то есть равна определенному рациональному числу. Но возникает вопрос, не имеются ли различные представления одного и того же рационального числа цепной дробью? Оказывается, что не имеются, если потребовать, чтобы было.

Непрерывные дроби - последовательность, каждый член которой является обычной дробью, порождает непрерывную (или цепную) дробь, если ее второй член прибавить к первому, а каждую дробь, начиная с третьей, прибавить к знаменателю предыдущей дроби.

Любое вещественное число может быть представлено (конечной или бесконечной, периодической или непериодической) цепной дробью

где обозначает целую часть числа.

Для рационального числа это разложение оборвётся по достижении нулевого для некоторого n. В этом случае представляется конечной цепной дробью.

Для иррационального все величины будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае представляется бесконечной цепной дробью.

Для рациональных чисел может быть использован алгоритм Евклида для быстрого получения разложения в цепную дробь.

3. Приближение в ещественных чисел к рациональным

Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству

Отсюда, в частности, следует:

· подходящая дробь является наилучшим приближением для среди всех дробей, знаменатель которых не превосходит;

· мера иррациональности любого иррационального числа не меньше 2.

4. Приложения цепных дробей

Теория календаря

При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:

Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось. Третья дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском -- за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (31/128, ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер (1864), однако большого интереса он не вызвал.

Другие приложения

· Доказательство иррациональности чисел. Например, с помощью цепных дробей была доказана иррациональность значения дзета-функции Римана

· Решение в целых числах уравнения Пелля

и других уравнений диофантова анализа

· Определение заведомо трансцендентного числа (см. теорема Лиувилля)

· Алгоритмы факторизации SQUFOF и CFRAC

· Характеристика ортогональных многочленов

· Характеристика устойчивых многочленов

5. Свойства золотого сечения

Интересный результат, который следует из того, что выражение непрерывной дроби для ц не использует целых чисел, больших 1, состоит в том, что ц является одним из самых «трудных» действительных чисел для приближения с помощью рациональных чисел.

Теорема Гурвица утверждает, что любое действительное число k может быть приближено дробью m /n так, что

Хотя практически все действительные числа k имеют бесконечно много приближений m /n , которые находятся на значительно меньшем расстоянии от k , чем эта верхняя граница, приближения для ц (то есть числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 и т. д.) в пределе достигают этой границы, удерживая расстояние на почти точно от ц, тем самым никогда не создавая столь хорошие приближения как, к примеру, 355/113 для р. Может быть показано, что любое действительное число вида (a + b ц)/(c + d ц), a ,b , c и d являются целыми числами, причём

ad ? bc = ±1,

обладают тем же свойством, как и золотое сечение ц; а также, что все остальные действительные числа могут быть приближены намного лучше.

дробь математический число уравнение

С писок литературы

1. В.И. Арнольд. Цепные дроби. -- М.: МЦНМО, 2000. -- Т. 14. -- 40 с. -- (Библиотека «Математическое просвещение»).

2. Н.М. Бескин Цепные дроби // Квант. -- 1970. -- Т. 1. -- С. 16--26,62.

3. Н.М. Бескин Бесконечные цепные дроби // Квант. -- 1970. -- Т. 8. -- С. 10--20.

4. Д.И. Боднар Ветвящиеся цепные дроби. -- К.: Наука, 1986. -- 174 с.

5. А.А. Бухштаб. Теория чисел. -- М.: Просвещение, 1966. -- 384 с.

6. И.М. Виноградов. Основы теории чисел. -- М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952. -- 180 с.

7. С.Н. Гладковский. Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. 1. -- Незлобная, 2009. -- 138 с.

8. И.Я. Депман. История арифметики. Пособие для учителей. -- Изд. второе. -- М.: Просвещение, 1965. -- С. 253--254.

9. Г. Дэвенпорт. Высшая Арифметика. -- М.: Наука, 1965.

10. С.В. Сизый. Лекции по теории чисел. -- Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.

11. В. Скоробогатько. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. -- М.: Наука, 1983. -- 312 с.

12. А.Я. Хинчин. Цепные дроби. -- М.: ГИФМЛ, 1960.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

На протяжении многих веков на языках народов ломаным числом именовали дробь. Необходимость в дробях возникла на ранней ступени развития человечества. Виды дробей. Запись дробей в Египте, Вавилоне. Римская система дробей. Дроби на Руси - "ломаные числа".

презентация , добавлен 21.01.2011


Первая дробь, с которой познакомились люди в Египте. Числитель и знаменатель дроби. Правильная и неправильная дробь. Смешанное число. Приведение к общему знаменателю. Неполное частное. Целая и дробная часть. Обратные дроби. Умножение и деление дробей.

презентация , добавлен 11.10.2011


Из истории десятичных и обыкновенных дробей. Действия над десятичными дробями. Сложение (вычитание) десятичных дробей. Умножение десятичных дробей. Деление десятичных дробей.

реферат , добавлен 29.05.2006


История арифметики остатков. Понятие остатка, наибольшего общего делителя, расширенного алгоритма Евклида и применение его для решения линейных диофантовых уравнений. Алгебраический подход к делимости в кольцах и разложение чисел в цепные дроби.

дипломная работа , добавлен 23.08.2009


Сумма n первых чисел натурального ряда. Вычисление площади параболического сегмента. Доказательство формулы Штерна. Выражение суммы k-х степеней натуральных чисел через детерминант и с помощью бернуллиевых чисел. Сумма степеней и нечетных чисел.

курсовая работа , добавлен 14.09.2015


Появление слова "дробь" в русском языке в VIII веке. Старые названия дробей: полтина, четь, треть, полчеть, полтреть. Особенности древнеримской дробной системы. Л. Пизанский - ученый, который стал использовать и распространять современную запись дробей.

презентация , добавлен 18.11.2013


Класс рациональных функций. Практический пример решения интегралов. Линейная замена переменной. Сущность и главные задачи метода неопределенных коэффициентов. Особенности, последовательность представления подынтегральной дроби в виде суммы простых дробей.

презентация , добавлен 18.09.2013


Обозначение десятичной дроби в разное время. Использование десятичной системы мер в Древнем Китае. Запись дроби в одну строку числами в десятичной системе и правила действия с ними. Симон Стевин как фландрский учений, изобретатель десятичных дробей.

презентация , добавлен 22.04.2010


Теоретико-методологические основы формирования математического понятия дроби на уроках математики. Процесс формирования математических понятий и методика их введения. Практическое исследование введения и формирования математического понятия дроби.

дипломная работа , добавлен 23.02.2009


Математика Древнего и Средневекового Китая. Правило двух ложных положений. Системы линейных уравнений со многими неизвестными. Начальные этапы развития тригонометрии. Создание позиционной десятичной нумерации. Арифметика натуральных чисел и дробей.

План:

Введение

• 1 Разложение в цепную дробь
• 2 Подходящие дроби
• 3 Приближение вещественных чисел рациональными
  • 3.1 Примеры
• 4 Свойства и примеры
• 5 Приложения цепных дробей
  • 5.1 Теория календаря
  • 5.2 Решение сравнений первой степени
  • 5.3 Другие приложения
    • 5.3.1 Свойства золотого сечения
• 6 Историческая справка
• 7 Мотивация
Примечания

Введение

Цепная дробь (или непрерывная дробь ) - это математическое выражение вида

где a 0 есть целое число и все остальные a n натуральные числа (то есть неотрицательные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.

1. Разложение в цепную дробь

Любое вещественное число x может быть представлено (конечной или бесконечной) цепной дробью , где

где обозначает целую часть числа x .

Для рационального числа x это разложение оборвётся по достижении нулевого x n для некоторого n. В этом случае x представляется конечной цепной дробью .

Для иррационального x все величины x n будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае x представляется бесконечной цепной дробью .

Для рациональных чисел может быть использован алгоритм Евклида для быстрого получения разложения в цепную дробь.

2. Подходящие дроби

n -ой подходящей дробью для цепной дроби , называется конечная цепная дробь , значение которой равно некоторому рациональному числу . Подходящие дроби с чётными номерами образуют возрастающую последовательность, предел которой равен x . Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен x .

Эйлер вывел рекуррентные формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей:

Таким образом, величины p n и q n представляются значениями континуант:

Последовательности и являются возрастающими.

Числители и знаменатели соседних подходящих дробей связаны соотношением:

p n q n - 1 - q n p n - 1 = (- 1) n - 1 ,

(1)

которое можно переписать в виде

Откуда следует, что

3. Приближение вещественных чисел рациональными

Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число x разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству

Отсюда, в частности, следует:

3.1. Примеры

• Разложим число π =3,14159265… в непрерывную дробь и подсчитаем его подходящие дроби: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …

Вторая дробь (22/7) - это известное архимедово приближение. Четвёртая (355/113) была впервые получена в Древнем Китае.

4. Свойства и примеры

• Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби двумя способами, например:

• Теорема Лагранжа : Число представляется в виде бесконечной периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда оно является иррациональным решением квадратного уравнения с целыми коэффициентами.

Например: золотое сечение e − 1 =

для числа

• У числа пи простой закономерности не видно:

π =

• Теорема Гаусса - Кузьмина: Почти для всех (кроме множества меры нуль) вещественных чисел существует среднее геометрическое коэффициентов соответствующих им цепных дробей, и оно равно постоянной Хинчина.
• Теорема Маршалла Холла. Если в разложении числа x в непрерывную дробь, начиная со второго элемента не встречаются числа большие n , то говорят, что число x относится к классу F (n ). Любое вещественное число может быть представленно в виде суммы двух чисел из класса F (4) и в виде произведения двух чисел из класса F (4). В дальнейшем было показано, что любое вещественное число может быть представленно в виде суммы 3 чисел из класса F (3) и в виде суммы 4 чисел из класса F (2). Количество требуемых слагаемых в этой теореме не может быть уменьшено - для представления некоторых чисел указанным образом меньшего количества слагаемых недостаточно.

5. Приложения цепных дробей

5.1. Теория календаря

При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:

Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось. Третья дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском - за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (31/128, ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер (1864), однако большого интереса он не вызвал.

5.2. Решение сравнений первой степени

Рассмотрим сравнение: , где известны, причём можно считать, что a взаимно просто с m . Надо найти x .

Разложим в непрерывную дробь. Она будет конечной, и последняя подходящая дробь . Подставим в формулу (1):

m q n − 1 − a p n − 1 = (− 1) n − 1

Отсюда вытекает:

, или:

Вывод: класс вычетов является решением исходного сравнения.

5.3. Другие приложения

5.3.1. Свойства золотого сечения

Интересный результат, которые следует из того факта, что выражение непрерывной дроби для φ не использует целых чисел больше чем 1, состоит в том, что φ является одним из самых "трудных" действительных чисел для приближения с помощью рациональных чисел. Одна теорема (Теорема Гурвица) утверждает, что любое действительное число k может быть приближено дробью m /n при помощи

Тогда когда практически все действительные числа k имеют в конечно счёте бесконечно много приближений m /n , которые находятся на значительно меньшем расстояние от k , чем этот предел, приближения для φ (т.е. числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, и т.д.) последовательно "касаются границы", удерживая расстояние на почти точно расстоянии от φ, тем самым никогда не создавая приближения столь же внушительные как, к примеру, 355/113 для π. Может быть показано что любое действительное число формы (a + b φ)/(c + d φ) – где a , b , c иd являются целыми числами, такими как ad − bc = ±1 – имеют такое же свойство как и золотое сечение φ; а также, что все остальные действительные числа могут быть приближены намного лучше.

6. Историческая справка

Античные математики умели представлять отношения несоизмеримых величин в виде цепочки последовательных подходящих отношений, получая эту цепочку с помощью алгоритма Евклида. По-видимому, именно таким путём Архимед получил приближение - это 12-я подходящая дробь для или от 4-й подходящей дроби для .

В V веке индийский математик Ариабхата применял аналогичный «метод измельчения» для решения неопределённых уравнений первой и второй степени. С помощью этой же техники было, вероятно, получено известное приближение для числа π (355/113). В XVI веке Рафаэль Бомбелли извлекал с помощью цепных дробей квадратные корни (см. его алгоритм).

Начало современной теории цепных дробей положил в 1613 году Пьетро Антонио Катальди. Он отметил основное их свойство (положение между подходящими дробями) и ввёл обозначение, напоминающее современное. Позднее его теорию расширил Джон Валлис, который и предложил термин «непрерывная дробь» . Эквивалентный термин «цепная дробь » появился в конце XVIII века.

Применялись эти дроби в первую очередь для рационального приближения вещественных чисел; например, Христиан Гюйгенс использовал их для проектирования зубчатых колёс своего планетария. Гюйгенс уже знал, что подходящие дроби всегда несократимы и что они представляют наилучшее рациональное приближение.

В XVIII веке теорию цепных дробей в общих чертах завершили Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж.

7. Мотивация

Непрерывные дроби являются самыми "математически естественными" представлениями вещественных чисел.

Большинство людей знакомы с десятичным представлением вещественных чисел, которое может быть определено как

где a 0 может быть любым целым числом, а последующие a i являются одним из элементом {0,1,2,…,9}. В этом представление, число π, к примеру, может быть представлено как последовательность целых чисел .

Это десятичное представление имеет несколько проблем. Одна из них, многие рациональные числа не имеет конечного представления в этой системе. Например, число 1/3 представимо бесконечной последовательностью (0,3,3,3,3,…). Другая проблема заключается в том, что константа 10 является по сути произвольным выбором, который оказывает предпочтение числам, которые как-либо относятся к целому числу 10. Например, 137/1600 имеет конечное десятичное представление, тогда как 1/3 не имеет, не потому, что 137/1600 проще чем 1/3, а всего лишь потому, что 1600 делит степень 10 (10 6 = 1600 × 625). Запись как цепная дробь является представлением вещественных чисел, которая не имеет этих проблем.

Давайте рассмотрим как мы можем описать число, такое как 415/93, которое примерно равняется 4,4624. Это примерно 4.Вообще-то это чуть больше чем 4, около 4 + 1/2. Но 2 в знаменателе не совсем точно; там должно быть число чуть больше чем 2, примерно 2 + 1/6. Таким образом, 415/93 примерно равняется 4 + 1/(2 + 1/6). Но 6 в знаменателе не верно; настоящее значение чуть больше 6, 6+1/7. Таким образом, 415/93 является 4+1/(2+1/(6+1/7). Это точное значение.

Опуская некоторые обязательные части в выражении 4 + 1 / (2 + 1 / (6 + 1 / 7)) мы получим краткую нотацию . (Заметьте, что общепринято заменять только первую запятую точкой с запятой).

Представление как непрерывная дробь вещественного числа может быть определена таким образом. Она имеет несколько желательных свойств:

• Представление как непрерывная дробь конечно тогда и только тогда когда число является рациональным.

• Каждое рациональное число имеет по-существу единственное представление как непрерывная дробь. Каждое рациональное число можно представить в точности двумя способами, т.к. [a 0 ; a 1 , … a n − 1 , a n ] = [a 0 ; a 1 , … a n − 1 , a n − 1, 1]. Математики предпочитают иметь взаимно-однозначное соответствие между рациональными числами и цепными дробями; первая, более короткая нотация выбрана в качество каноническое представления.

• Представление как непрерывная дробь иррационального числа единственно.

• Цепная дробь является периодической тогда и только тогда, когда число является квадратичной иррациональностью, т.е. имеет форму

для целых a , b , c , d ; где b и d не ноль и c >1 и c не является точным квадратом.

К примеру, периодическая непрерывная дробь является золотым сечением, а периодическая непрерывная дробь является квадратным корнем из 2.

• Раннее усечение представления числа x в виде цепной дроби приводит к рациональному приближению x, которая в определенном смысле является "наилучшим" рациональным приближением.

Последнее свойство чрезвычайно важно. У десятичного представления числа его нет. Усечение десятичного представления числа приводит к рациональному приближению числа, но обычно к не очень хорошему приближению. К примеру, усечение 1/7 = 0.142857… в разных местах приводит к приближениям таким как 142/1000, 14/100 и 1/10. Но очевидно лучшим рациональным приближением будет само число "1/7". Обрывая десятичное представление π мы получаем приближения такие как 31415/10000 и 314/100. Цепная дробь π начинается . Усекая это представление мы получаем отличные рациональные приближение 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …. Знаменатели 314/100 и 333/106 почти одинаковые, но ошибка в приближении 314/100 в девятнадцать раз больше ошибки, чем в приближении 333/106. Как приближении π, более чем в сто раз точнее приближения 3,1416.

, Дробь , Дробь (математика) , Правильная дробь .